ESSAI PHILOSOPHIQUE
SUR LES
PROBABILITES.
joris Abadie
joris Abadie
Cet Essai philosophique est le développement d'une leçon sur les probabilités, que je donnais en 1795, aux écoles normales où je fus appelé comme professeur de Mathématiques avec Lagrange par décret de la Convention Nationale. J'ai publié depuis peu sur le même sujet, un ouvrage ayant pour titre :Théorie analytique des Probabilités. Je présente ici, sans le secours de l'Analyse, les principes et les résultats généraux de cette théorie, en les appliquant aux questions les plus importantes de la vie, qui ne sont en effet, pour la plupart, que des problèmes de probabilités. On peut même dire, à parler en rigueur, que presque toutes nos connaissances ne sont que probables ; et dans le petit nombre des choses que nous pouvons savoir avec certitude, dans les sciences mathématiques elles-mêmes, les principaux moyens de parvenir à la vérité, l'induction et l'analogie se fondent sur les probabilités ; en sorte que le système entier des connaissances humaines, se rattache à la théorie exposée dans cet essai. On y verra sans doute avec intérêt, qu'en ne considérant même dans les principes éternels de la raison, de la justice et de l'humanité, que les chances heureuses qui leur sont constamment attachées ; il y a un grand avantage à suivre ces principes, et de graves inconvéniens à s'en écarter ; leurs chances, comme celles qui sont favorables aux loteries, finissant toujours par prévaloir au milieu des oscillations du hasard. Je désire que les réflexions répandues dans cet essai puissent mériter l'attention des philosophes, et la diriger vers un objet si digne de les occuper.
De la probabilité.
Tous les évènemens, ceux même qui par leur petitesse, semblent ne pas tenir aux grandes lois de la nature, en sont une suite aussi nécessaire que les révolutions du soleil. Dans l'ignorance des liens qui les unissent au système entier de l'univers, on les a fait dépendre des causes finales, ou du hasard, suivant qu'ils arrivaient et se succédaient avec régularité, ou sans ordre apparent ; mais ces causes imaginaires ont été successivement reculées avec les bornes de nos connaissances, et disparaissent entièrement devant la saine philosophie. qui ne voit en elles, que l'expression de l'ignorance où nous sommes de véritables causes. Les évènemens actuels ont, avec les précédens, une liaison fondées sur le principe évident, qu'une chose ne peut pas commencer d'être, sans une cause qui l'a produise. Cet axiome,connu sous le nom deprincipe de la raison suffisante, s'étend aux actions mêmes que l'on juge indifférentes. La volonté la plus libre ne peut sans un motif déterminant, leur donner naissance ; car si toutes les circonstances de deux positions étant exactement semblables, elle agissait dans l'une et s'abstenait d'agir dans l'autre, son choix serait en effet sans cause ; elle serait dit alors Leibnitz, le hasard aveugle des épicuriens. L'opinion contraire est une illusion de l'esprit qui perdant de vue, les raisons fugitives du choix de la volonté dans les choses indifférentes, se persuade qu'elle s'est déterminée d'elle-même et sans motifs. Nous devons donc envisager l'état présent de l'univers, comme l'effet de son état antérieur, comme la cause de celui qui va suivre. Une intelligence qui pour un instant donné, connaitrait toutes les forces dont la nature est animée, et la situation respective des être qui la composent, si d'ailleurs elle était assez vaste pour soumettre ces données à l'analyse, embrasserait dans la même formule les mouvemens des plus grands corps de l'univers et ceux du plus léger atome ; rien ne serait incertain pour elle, et l'avenir comme le passé, serait présent à ses yeux. L'esprit humain offre, dans la perfection qu'il a su donner à l'Astronomie, une faible esquisse de cette intelligence. Ses découvertes en Mécanique et en Géométrie, jointes à celle de la pesanteur universelle, l'ont mis à portée de comprendre dans les mêmes expressions analytiques, les états passés et futurs du système du monde. En appliquant la même méthode à quelques autres objets de ses connaissances, il est parvenue à ramener à des lois générales, les phénomènes observés, et à prévoir ceux que des circonstances données doivent faire éclore. Tous ces efforts dans la recherche de la vérité, tendent à le rapprocher sans cesse de l'intelligence que nous venons de concevoir, mais dont il restera toujours infiniment éloigné. Cette tendance propre à l'espèce humaine, est ce qui la rend supérieure aux animaux ; et ses progrès en ce genre, distinguent les nations et les siècles, et font leur véritable gloire. Rappelons nous qu'autrefois, et à une époque qui n'est pas encore bien reculée, une pluie ou une sécheresse extrême, une comète traînant après elle une queue fort étendue, les éclipses, les aurores boréales et généralement tous les phénomènes extraordinaires étaient regardés comme autant de signes de la colère céleste. On invoquait le ciel pour détourner leur funeste influence. On ne le priait point de suspendre le cours des planètes et du soleil ; l'observation eut bientôt fait sentir l'inutilité de ces prières. Mais comme ces phénomènes arrivant et disparaissant à de longs intervalles, semblaient contrarier l'ordre de la nature ; on supposait que le ciel irrité par les crimes de la terre, les faisait naître pour annoncer ses vengeances. Ainsi la longue queue de la comète de 1456 répandit la terreur dans l'Europe, déjà consternée par les succès rapides des Turcs qui venaient de renverser le Bas-Empire. Cet astre, après quatre de ses révolutions, a excité parmi nous un intérêt bien différent. La connaissance des lois du système du monde, acquise dans cet intervalle, avait dissipé les craintes enfantées par l'ignorance des vrais rapports de l'homme avec l'univers ; et Halley ayant reconnu l'identité de cette comète, avec celles de années 1531, 1607 et 1682, annonça son retour prochain pour la fin de 1758 ou le commencement de 1759. Le monde savant attendit avec impatience, ce retour qui devait confirmer l'une des plus grandes découvertes que l'on eut faites dans les sciences, et accomplir la prédiction de Sénèque, lorsqu'il a dit, en parlant de la révolution de ces astres qui descendent d'une 'norme distance : - Le jour viendra que par une étude suivie, de plusieurs siècles, les choses actuellement cachées paraîtront avec évidence ; et la postérité s'étonnera que des vérités si claires nous aient échappées.- Clairaut entreprit alors de soumettre à l'analyse, les perturbations que la comète avait éprouvée par l'action des deux plus grosses planètes, Jupiter et Saturne ; après d'immenses calculs, il fixa son prochain passage au périhélie, vers le commencement d'avril 1759, ce que l'observation ne tarda point à vérifier. La régularité de l'astronomie nous montre dans le mouvement des comètes, a lieu sans aucun doute, dans tous les phénomènes. La courbe décrite par une simple molécule d'air ou de vapeurs, est réglée d'une manière aussi certaine, que les orbites planétaires ; il n'y a de différences entre elles, que celle qu'y met notre ignorance. La probabilité est relative en partie à cette ignorance, en partie à nos connaissances. Nous savons que sur trois ou un plus grand nombre d'évènemens, un seul doit arriver ; mais rien ne porte à croire que l'un d'eux arrivera plutôt que les autres. Dans cet état d'indécision, il nous est impossible de prononcer avec certitude sur leur arrivée. Il est cependant probable qu'un de ces évènemens pris à volonté, n'arrivera pas ; parce que nous voyons plusieurs cas également possible qui excluent son existence, tandis qu'un seul la favorise. La théorie des hasard consiste à réduire tous les évènemens du même genre, à un certain nombre de cas également possible, c'est-à-dire tel que nous soyons également indécis sur leur existence ; et à déterminer le nombre de cas favorables à l'évènement dont on cherche la probabilité. Le rapport de ce nombre à celui de tous les cas possibles, est la mesure de cette probabilité qui n'est ainsi qu'une fraction dont le numérateur est le nombre des cas favorables, et dont le dénominateur est le nombre de tous les cas possibles. La notion précédente de probabilité suppose qu'en faisant croitre dans le même rapport, le nombre des cas favorables, et celui de tous les cas possibles, la probabilité reste la même. Pour s'en convaincre, que l'on considère deux urnes A et B, dont la première contienne quatre boules blanches et deux noires, et dont la seconde ne renferme que deux boules blanches et une noire. On peut imaginer les deux boules noires de la première urne, attachées à un fil qui se rompt au moment où l'on saisit l'une d'elles pour l'extraire, et les quatre boules blanches formant deux systèmes semblables. Toutes les chances qui feront saisir l'une des boules du système noir, amèneront une boule noire. Si l'on conçoit maintenant que les fils qui unissent les boules, ne se rompent point ; il est clair que le nombre des chances possibles ne changera pas, non plus que celui des chances favorables à l'extraction des boules noires, on tirera de l'urne, deux boules à la fois ; la probabilité d'extraire une boule noire de l'urne, sera donc la même qu'auparavant. Mais alors, on a évidement le cas de l'urne B, avec la seule différence, que les trois boules de cette dernière urne, soient remplacées par trois systèmes de deux boules invariablement unies. Quand tous les cas sont favorables à un événement, sa probabilité se change en certitude, et son expression devient égales à l'unité. Sous ce rapport, la certitude et la probabilité sont comparable, quoiqu'il y ait une différence essentielle entre les deux états de l'esprit, lorsqu'une vérité lui est rigoureusement démontrée, ou lorsqu'il aperçoit encore une petite source d'erreur. Dans les choses qui ne sont que vraisemblables, la différence des données que chaque homme a sur elles, est une des causes principales de la diversité des opinions que l'on voit régner sur les mêmes objets. Supposons, par exemple, que l'on ait trois urnes A, B, C, dont une ne contienne que des boules noires, tandis que les deux autres ne renferment que des boules blanches ; on doit tirer une boule de l'urne C, et l'on demande la probabilité que cette boule sera noire. Si l'on ignore quelle est celle des trois urnes, qui ne renferme que des boules noires, en sorte que l'on ait aucune raison de croire qu'elle est plutôt C, que B ou A, ces trois hypothèses paraîtrons également possibles ; et, comme une boule noire ne peut être extraite que dans la première hypothèse, la probabilité de l'extraire est égale à un tiers. Si l'on sait que l'urne A ne contient que des boules blanches, l'indécision ne porte plus alors que sur les urnes B et C, et la probabilité que la boule extraite de l'urne C sera noire, est un demi. Enfin, cette probabilité se change en certitude, si l'on est assuré que les urnes A et B ne contiennent que des boules blanches. C'est ainsi que le même fait, récité devant une nombreuse assemblée, obtient divers degrés de croyance, suivant l'étendue des connaissances de l'auditeur. Si l'homme qui le rapporte, en est intimement persuadé, et si, par son état et par son caractère, il inspire une grande confiance ; son récit, quelque extraordinaire qu'il soit, aura, pour les auditeurs dépourvu de lumières, le même degré de vraisemblance, qu'un fait divers rapporté par le même homme, et ils lui apporteront une foi entière. Cependant si quelqu'un d'eux sait que le même fait est rejeté par d'autres hommes également respectables, il sera dans le doute ; et le fait sera jugé faux par les auditeurs éclairés qui le trouverons contraire, soit à des faits bien avérés, soit aux lois immuables de la nature. C'est à l'influence de l'opinion de ceux que la multitude juge les plus instruits, et à qui elle a coutume de donner sa confiance sur les plus importants objets de la vie, qu'est due la propagation de ces erreurs qui, dans les temps d'ignorance, on couvert la face du monde. La Magie et l'Astrologie nous en offre deux grands exemples. Ces erreurs inculquées dès l'enfance, adoptées sans examen, et n'ayant pour base que la croyance universelle, se sont maintenues pendant très long-temps ; jusqu'à ce qu'enfin le progrès des sciences les ait détruites dans l'esprit des hommes éclairés dont ensuite l'opinion les a fait disparaître chez le peuple même, par le pouvoir de l'imitation et de l'habitude, qui les avait si généralement répandues. Ce pouvoir, le plus puissant ressort du monde moral, établit et conserve dans toute une nation, des idées entièrement contraires à celles qu'il maintient ailleurs avec le même empire. Quelle indulgence ne devons-nous donc pas avoir pour les opinions différentes des nôtres ; puisque cette différence ne dépend souvent que des points de vue divers ou les circonstances nous ont placées ! Éclairons ceux que nous ne jugeons pas suffisamment instruits ; mais auparavant examinons sévèrement nos propres opinions, et pesons avec impartialité leurs probabilités respectives. La différence des opinions dépend encore de la manière dont on détermine l'influence des données qui sont connues. La théorie des probabilités tient à des considérations si délicates ; qu'il n'est pas surprenant qu'avec les mêmes données, deux personnes trouvent des résultats différens, surtout dans les questions très compliquées. Exposons ici les principes généraux de cette théorie.
Principes généraux du Calcul des Probabilités.
Principe I : Le premier de ces principes est la définition même de la probabilité qui, comme on l'a vu, est le rapport du nombre des cas favorables à celui de tous les cas possibles.
Principe II : Mais cela suppose les divers cas, également possible. S'ils ne le sont pas, on déterminera d'abord leurs possibilités respectives dont la juste appréciation est un des points les plus délicats de la théorie des hasards. Alors la probabilité sera la somme des possibilités de chaque cas favorable. Éclaircissons ce principe par un exemple. Supposons que l'on projette en l'air une pièce large et très mince dont les deux grandes faces opposées, que nous nommerons croix et pile, soient parfaitement semblable. Cherchons la probabilité d'amener croix, une fois au moins en deux coups. Il est clair qu'il peut arriver quatre cas également possibles, savoir, croix au premier et au second coup ; croix au premier coup et pile au second ; pile au premier coup et croix au second ; enfin pile aux deux coups. Les trois premiers cas sont favorables à l'évènement dont on cherche la probabilité qui, par conséquent, est égale à ¾ ; en sorte qu'il y a trois contre un à parier que croix arrivera au moins une fois en deux coups. On peut ne compter à ce jeu, que trois cas différens, savoir : croix au premier coup, ce qui dispense d'en jouer un second ; pile au premier coup et croix au second ; enfin pile au premier et au second coup. Cela réduirait la probabilité à 2/3, si l'on considérait avec d'Alembert, ces trois cas, comme également possibles. Mais il est visible que la probabilité d'amener croix au premier coup est de ½, tandis que celle des deux autres cas est de ¼ ; le premier cas étant un événement simple qui correspond aux deux évènemens composés, croix au premier et au second coup, et croix au premier coup, pile au second. Maintenant, si conformément au second principe, on ajoute la possibilité ½ de croix au premier coup, à la possibilité ¼ de pile arrivant au premier coup et croix au second, on aura ¾ pour la probabilité cherchée, ce qui s'accorde avec ce que l'on trouve dans la supposition où l'on joue les deux coups. Cette supposition ne change point le sort de celui qui parie pour cet événement : elle sert seulement à réduire les divers cas, à des cas également possibles.
Principe III : Un des points les plus important de la Théorie des Probabilités, et celui qui prête le plus aux illusions, est la manière dont les probabilités augmentent ou diminuent par leurs combinaisons mutuelles. Si les évènements sont indépendans les uns des autres ; la probabilité de l'existence de leur ensemble, est le produit de leurs probabilités particulières. Ainsi la probabilité d'amener un as avec un seul dé, étant un sixième ; celle d'amener deux as en projetant deux dés à la fois, est un trente-sixième. En effet, chacune des faces de l'un, pouvant se combiner avec les six faces de l'autre ; il y a trente-six cas également possible, parmi lesquels un seul donne les deux as. Généralement, la probabilité qu'un événement simple dans les mêmes circonstances, arrivera de suite, un nombre donné de fois, est égale à la probabilité de cet événement simple, élevé à une puissance indiquée par ce nombre. Ainsi les puissances successives d'une fraction moindre que l'unité, diminuant sans cesse ; un événement qui dépend d'une suite de probabilités fort grandes, peut devenir extrêmement peu vraisemblable.. Supposons qu'un fait nous soit transmis par vingt témoins, de manière que le premier l'ait transmis au second, le second au troisième, et ainsi de suite. Supposons encore que la probabilité de chaque témoignage soit égale à 9/10 ; celle du fait, résultante des témoignage, sera moindre qu'un huitième. On ne peut mieux comparer cette diminution de la probabilité, qu'à l'extinction de la clarté des objets, pat l'interposition de plusieurs morceaux de verre ; un nombre de morceaux peu considérable, suffisant pour dérober la vue d'un objet qu'un seul morceau laisse apercevoir d'une manière distincte. Les historiens ne paraissent pas avoir fait assez d'attention à cette dégradation de la probabilité des faits, lorsqu'ils sont vus à travers un grand nombre de générations successives ; plusieurs événements historiques, réputés certains, seraient au moins douteux, si on les soumettait à cette épreuve. Dans les sciences purement mathématiques, les conséquences les plus éloignées participent de la certitude du principe dont elles dérivent. Dans les applications de l'Analyse à la Physique, les conséquences ont toutes la certitude des faits où des expériences. Mais dans les sciences morales, où chaque conséquence n'est déduite de ce qui la précède, que d'une manière vraisemblable ; quelque probables que soient ces déductions, la chance de l'erreur croît avec leur nombre, et finit par surpasser la chance de la vérité, dans les conséquences très éloignées du principe.
Principe IV : Quand deux évènements dépendent l'un de l'autre, la probabilité de l'évènement composé est le produit de la probabilité du premier événement, par la probabilité que cet événement étant arrivé, l'autre arrivera. Ainsi, dans le cas précédent de trois urnes A, B, C, dont deux ne contiennent que des boules blanches et dont une ne renferme que des boules noires ; la probabilité de tirer une boule blanche de C est 2/3 ; puisque sur trois urnes, deux ne contiennent que des boules de cette couleur. Mais lorsqu'on a extrait une boule blanche, de l'urne C, l'indécision relative à celle des urnes qui ne renferment que des boules noires, ne portant plus que sur les urnes A et B ; la probabilité d'extraire une boule blanche, de l'urne B est de ½, le produit de 2/3 par ½ , ou 1/3 est donc la probabilité d'extraire à la fois des urnes B et C, deux boules blanches. En effet, il est nécessaire pour cela, que l'urne A soit celle des trois urnes, qui contient des boules noires ; et la probabilité pour ce cas est évident 1/3. On voit par cet exemple l'influence des évenemens passés sur la probabilité des évenemens futurs. Car la probabilité d'extraire une boule blanche de l'urne B, qui primitivement est 2/3, devient ½, lorsqu'on a extrait une boule blanche de l'urne C ; elle se changerait en certitude, si l'on avait extrait une boule noire de la même urne. On déterminera cette influence, au moyen du principe suivant qui est un corollaire du précédent.
Principe Principe V : Si l'on calcule à priori la probabilité de l'évènement arrivé, et la probabilité d'un événement composé de celui-ci et d'un autre qu'on attend ; la seconde probabilité divisée par la première, sera la probabilité de l'évènement attendu, tirée de l'évènement observé. Ici se présente la question agitée par quelques philosophes, touchant l'influence du passé sur la probabilité de l'avenir. Supposons qu'au jeu du croix ou pile, croix soit arrivé plus souvent que pile : par cela seul, nous serons portés à croire que dans la constitution de la pièce, il existe une cause constante qui le favorise. Ainsi, dans la conduite de la vie, le bonheur constant est une preuve d'habileté, qui doit faire employer de préférence les personnes heureuses. Mais si par l'instabilité des circonstances, nous sommes ramenés sans cesse, à l'état d'une indécision absolue ; si, par exemple, on change de pièce à chaque coup, au jeu de croix ou pile ; le passé ne peut répandre aucune lumière sur l'avenir, et il serait absurde de vouloir d'en tenir compte.
Principe Principe VI : Chacune des causes auxquelles un événement observé peut être attribué, est indiqué avec d'autant plus de vraisemblance, qu'il est plus probable que cette cause étant supposé exister, l'évènement aura lieu ; la probabilité de l'existence d'une quelconque de ces causes, est donc une fraction dont le numérateur est la probabilité de l'évènement, résultante de cette cause, et dont le dénominateur est la somme des probabilités semblables relatives à toutes les causes ; si ces diverses causes considérées à priori, sont inégalement probables, il faut au lieu de la probabilité de l'évènement, résultante de chaque cause, employer le produit de cette probabilité, par la possibilité de la cause elle-même. C'est le principe fondamental de cette branche de l'Analyse des hasards, qui consiste à remonter des évènements aux causes. Ce principe donne la raison pour laquelle on attribue les évènemens réguliers, à une cause particulière. Quelques philosophes ont pensé que ces évènemens sont moins possibles que les autres, et qu'au jeu de croix ou pile, par exemple, la combinaison dans laquelle croix arrive vingt fois de suite, est moins facile à la nature, que celles où et crois et pile sont entremêlées d'une façon irrégulière. Mais cette opinion suppose que les évènements passés influent sur la possibilité des évènements futurs, ce qui n'est point admissible. Les combinaisons régulières n'arrivent plus rarement, que parce qu'elles sont moins nombreuses. Si nous recherchons une cause, là ou nous apercevons de la symétrie ; ce n'est pas que nous regardions un événement symétrique, comme moins possible que les autres ; mais cet événement devant être l'effet d'une cause particulière, ou celui du hasard, la première de ces suppositions est plus probable que la seconde. Nous voyons sur une table, des caractères d'imprimerie disposés dans cet ordre,Constantinople; et nous jugeons que cet arrangement n'est pas l'effet du hasard, non parce qu'il est moins possible que les autres, puisque si ce mot n'était employé dans aucune langue, nous ne lui soupçonnerions point de cause particulière ; mais ce mot étant en usage parmi nous, il est incomparablement plus probable qu'une personne aura déposée ainsi les caractères précèdens, qu'il ne l'est que cet arrangement est dû ai hasard. C'est ici le lieu de définir le motextraordinaire. Nous rangeons par la pensée,tous les évènements possibles, en diverses classes ; et nous regardons comme extraordinaires, ceux des classes qui en comprennent un très petit nombre. Ainsi, au jeu de croix ou pile, l'arrivée de croix cent fois de suite, nous paraît extraordinaire ; parce que le nombre presque infini des combinaisons qui peuvent arriver en cent coups, étant partagé en séries régulières ou dans lesquelles nous voyons régner un ordre facile à saisir, et en séries irrégulières ; celles-ci sont incomparablement plus nombreuses. La sortie d'une boule blanche, d'une urne qui, sur un million de boules, n'en contient qu'une seule de cette couleur, les autres étant noire, nous paraît encore extraordinaire ; parce que nous ne formons que deux classes d'évènemens, relatives aux deux couleurs. Mais la sortie du n° 475813, par exemple d'une urne qui renferme un million de numéros, nous semble un événement ordinaire ; parce que comparant individuellement les numéros, les uns aux autres, sans les partager en classes, nous n'avons aucune raison de croire que l'un d'eux sortira plutôt que les autres. De ce qui précède, nous devons généralement conclure que plus un fait est extraordinaire, plus il a besoin d'être appuyé de fortes preuves. Car ceux qui l'attestent, pouvant ou tromper, ou avoir été trompés ; ces deux causes sont d'autant plus probables, que la réalité du fait l'est moins en elle-même. C'est ce que l'on verra particulièrement lorsque nous parlerons de la probabilité des témoignages.
Principe VII : La probabilité d'un événement futur est la somme des produits de la probabilité de chaque cause, tirée de l'évènement observé, par la probabilité que cette cause existant, l'évènement futur aura lieu. L'exemple suivant éclaircira ce principe. Imaginons une urne qui ne renferme que deux boules dont chacune soit ou blanche, ou noire. On extrait une de ces boules, que l'on remet ensuite dans l'urne, pour procéder à un nouveau tirage. Supposons que dans les deux premiers tirages, on ait amené des boules blanches ; on demande la probabilité d'amener encore une boule blanche au troisième tirage. On peut faire ici que deux hypothèses ; ou l'une des boules est blanche, et l'autre noire ; ou toutes deux sont blanches. Dans la première hypothèse, la probabilité de l'évènement observé est ¼ ; elle est l'unité ou la certitude dans la seconde. Ainsi, en regardant ces hypothèses, comme autant de causes ; on aura pour le sixième principe, 1/5 et 4/5 pour leurs probabilités respectives. Or, si la première hypothèse à lieu, la probabilité d'extraire une boule blanche au troisième tirage est 1/ ; elle égale l'unité, dans la seconde hypothèse ; en multipliant donc ces dernières probabilités, par celles des hypothèses correspondantes ; la somme des produits, ou 9/10 sera la probabilité d'extraire une boule blanche au troisième tirage. Quand la probabilité d'un événement simple est inconnue, on peut lui supposer également toutes les valeurs depuis zéro jusqu'à l'unité. La probabilité de chacune de ces hypothèses, tirée de l'évènement observé, est par le sixième principe, une fraction dont le numérateur est la probabilité de l'évènement dans cette hypothèse, et dont le dénominateur est la somme des probabilités semblables relatives à toutes les hypothèses. Ainsi la probabilité que la possibilité de l'évènement est comprise dans des limites données, est la somme des fractions comprises dans ces limites. Maintenant, si l'on multiplie chaque fraction, par la probabilité de l'évènement futur, déterminée dans l'hypothèse correspondante ; la somme des produits relatifs à toutes les hypothèses sera par le septième principe, la probabilité de l'évènement futur, tirée de l'évènement observé. On trouve ainsi qu'un événement étant arrivé de suite, un nombre quelconque de fois ; la probabilité qu'il arrivera encore la fois suivante, est égale à ce nombre augmenté de l'unité, divisé par le même nombre augmenté de deux unités. En faisant, par exemple, remonter la plus ancienne époque de l'histoire, à cinq mille ans, ou à 1826213 jours, et le soleil s'étant levé constamment dans cet intervalle, à chaque révolution de vingt-quatre heures ; il y a 1826214 à parier contre un, qu'il se lèvera encore demain. Mais ce nombre est incomparablement plus fort pour celui qui connaissant par l'ensemble des phénomènes, le principe régulateur des jours et des saisons, voit que rien dans le moment actuel, ne peut en arrêter le cours. Buffon, dans son Arithmétique politique, calcule différemment la probabilité précédente. Il suppose qu'elle ne diffère de l'unité, que d'une fraction dont le numérateur est l'unité, et dont le dénominateur est le nombre deux élevé à une puissance égale au nombre des jours écoulés depuis l'époque. Mais la vraie manière de remonter des évènemens passés, à la probabilité des causes et des évènemens futurs, était inconnue à cet illustre écrivain.
Des méthodes analytique du Calcul des probabilités.
